ANO 8 Edição 90 - Março 2020 INÍCIO contactos

Marinho Lopes


O fascínio dos números V    

 

Nas primeiras três partes deste artigo falei-vos de vários conjuntos diferentes de números (ver edições da InComunidade 86, 87 e 88), e na quarta parte (InComunidade ed. 89) foquei-me em alguns números em particular, nomeadamente o zero, o pi, e o número de ouro (ver também A Mitologia e a Verdade da Razão de Ouro, ver InComunidade ed. 27). Nesta quinta e última parte vou-me debruçar sobre outros números especiais que serão eventualmente menos conhecidos, mas não menos fascinantes.

 

 

número de Euler (também conhecido como número de Neper, número de Napier, número neperiano, ou número exponencial) é normalmente apresentado na escola como sendo o resultado do seguinte limite:

 

 

Permitam-me explicar o que é isto para quem não sabe: está-se a considerar o limite da expressão quando ‘n’ tende para infinito. A expressão em causa é uma potência de base (1+1/n) e expoente ‘n’, que é uma forma compacta de dizer que a base se multiplica por si própria ‘n’ vezes. Claramente, quando se tem uma fracção em que o denominador (a parte de baixo) tende para infinito, e o numerador é um número finito, então a fracção tende para zero, porque está-se a dividir um dado número por algo infinitamente maior (é como dividir uma pizza num número ‘n’ de fatias: como podem imaginar o tamanho de cada fatia tende para zero à medida que se aumenta o número ‘n’ de cortes). Portanto, o resultado da expressão de cima seria claro se retirássemos o expoente ‘n’ da expressão (daria 1+0=1). Por outro lado, se não tivéssemos a fracção, então seria 1 com expoente ‘n’, que é o mesmo que dizer que multiplicaríamos 1 por si próprio ‘n’ vezes, o que daria sempre 1 mesmo que o multiplicássemos infinitas vezes. Contudo, quando consideramos tanto a fracção como o expoente, como representado, o problema não é assim tão simples. À medida que a base (1+1/n) diminui, o expoente ‘n’ aumenta, logo poderão assumir que o resultado tem que ser um número maior que 1 (porque a base é sempre maior que 1 para qualquer ‘n’ maior que 0). De facto assim é, o limite desta função de ‘n’ tende para aproximadamente 2.718, o número de Euler (são conhecidos mais de 1 bilião de dígitos deste número). Este número é uma dízima infinita não periódica e trata-se de um número transcendente (ver parte I, InComunidade ed. 86). É normalmente representado pela letra ‘e’, sendo usado como base na função exponencial (a função exponencial é um caso particular de uma potência em que a base é o número de Euler). Consequentemente, é também usado como a base dos logaritmos naturais, que me vou abster de explicar aqui. Para quem aprendeu expansões de Taylor, saberá que este número também pode ser representado como a seguinte soma infinita:

 

 

onde o ponto de exclamação representa a operação “factorial”, em que o número natural em causa é multiplicado por todos os números naturais menores que ele. Por exemplo, 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 x 6 = 120.

 

É possível representar este número de muitas outras formas. Deixo-vos aqui mais uma

 

 

Qual a relevância do número de Euler? O facto de poder ser representado de muitas formas já vos dá um indício: é um número que aparece em muitas áreas distintas da Matemática, até mais que o próprio pi! Dou-vos mais um exemplo: se calcularem quantos números têm que escolher em média entre 0 e 1 para que a sua soma seja superior a 1, obtêm o número de Euler.

 

Refiro ainda que o número de Euler aparece também na identidade de Euler, a equação que é considerada a mais bela da Matemática:

 

 

A beleza está naturalmente na sua simplicidade e no seu poder. Numa só igualdade aparecem-nos aqueles que são eventualmente os 5 símbolos mais importantes da Matemática: o zero, a unidade, o pi, o número de Euler, e a unidade imaginária (ver parte II, InComunidade 87).

 

 

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço, considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, sendo também o matemático mais prolífico de sempre. Como viria a dizer Laplace (matemático francês): “Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós.” 

 

Na parte III (InComunidade ed. 88) falei-vos de números normais e disse-vos que se pensa que, por exemplo, o pi e o número de Euler sejam dois números normais. Mas já se conseguiu provar a “normalidade” de algum número? Sim! O número de Champernowne foi o primeiro número a ser demonstrado como sendo normal (tendo sido construído para o ser). Este número é formado por todos os números naturais em sequência, começando com 0., ou seja:
0.123456789101112131415…

 

Esta construção garante que todos os 10 dígitos aparecem com a mesma frequência, o que faz com que se trate de um número normal. O número foi “descoberto”/ “inventado” por David Champernowne (1912-2000) em 1933, quando este era ainda apenas um estudante universitário em Cambridge. Quatro anos depois, o matemático alemão Kurt Mahler (1903-1988) provou que o número era também transcendental.

 

 

O penúltimo número de que vos quero falar é a constante de Feigenbaum (4.669201…). Mitchell Feigenbaum (1944-?) descobriu esta constante universal em 1975 quando estudava uma fórmula simples para descrever o crescimento de uma população (conhecido como mapa logístico). Em modelos deste tipo, a população pode crescer ou extinguir-se, dependendo de parâmetros que podem ser alterados. Dependendo do parâmetro, a população pode convergir para um dado número, ou alternativamente oscilar (isto é, o número de “indivíduos” pode fixar-se num dado número, ou então oscilar no tempo). À medida que se altera esse parâmetro, a população pode oscilar entre 2 valores, entre 4, entre 8… De cada vez que aparece o dobro das possibilidades, diz-se que o sistema sofreu uma bifurcação. Até que a população pode oscilar entre tantos valores que o sistema se torna caótico. Um sistema caótico tem a propriedade de ser imprevisível, porque uma pequena alteração nas condições iniciais conduz a desfechos completamente diferentes. As bifurcações não ocorrem ao acaso em função do tal parâmetro, sendo a sua posição relativa definida pela constante de Feigenbaum. Trata-se de uma constante universal porque não só aparece neste sistema, como na verdade surge em todos os sistemas do mesmo género.

 

 

Quando Feigenbaum fez a sua descoberta, chamou os pais e disse-lhes que tinha “descoberto algo verdadeiramente notável”, e que quando o compreendesse, fazê-lo-ia “um homem famoso”. 

 

Para concluir, deixo-vos o googol, que é o nome que Edward Kasner (1878-1955) deu à centésima potência de 10, ou seja, ao resultado de 10 a multiplicar por si próprio 100 vezes, isto é, um 1 seguido de 100 zeros. O nome foi inventado pelo sobrinho de Kasner, Milton Sirotta, quando tinha 9 anos: Kasner pediu-lhe para ele inventar uma palavra para um número muito grande. Apesar do número não ter qualquer importância especial em Matemática, é um número útil como referência e, principalmente, para cativar o interesse do público em geral. Note-se que este número é superior ao número de átomos que compõe todas as estrelas visíveis! Por outro lado, se contarmos o número possível de jogos diferentes que se podem jogar em xadrez, obtemos um número maior que googol!

 

Como talvez saibam, o nome da empresa Google foi inspirado no nome deste número. Já agora acrescento ainda que se dá o nome de googolplex a 1 seguido de googol zeros (ou 10 com potência de googol). Um número extremamente grande, mas que ainda assim é inferior a infinitos números maiores que ele, num universo de números fascinantes.

 

 

“Não há já problemas suficientes no mundo?”

 

 

Marinho Lopes é Doutor em Física pela Universidade de Aveiro.

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Revista InComunidade, Edição de Março de 2020


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Foto de capa:

EDVARD MUNCH, 'Der Schrei der Natur', 1893 | EDVARD MUNCH, 'Det Syke Barn', 1885-1886.


Paginação:

Nuno Baptista


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